脱式算法是怎么算

脱式算法（Strassen’s Algorithm）是一种用于大规模矩阵相乘的算法。与传统的矩阵相乘算法相比，脱式算法能够以更高的效率完成矩阵相乘运算。

脱式算法的主要思想是将两个矩阵分别划分为四个子矩阵，然后通过计算子矩阵的乘积来得到原始矩阵的乘积。具体而言，假设我们要计算两个 n×n 的矩阵 A 和 B 的乘积，将 A 和 B 划分为四个 n/2 × n/2 的子矩阵：

A = [[A11， A12]，

[A21， A22]]

B = [[B11， B12]，

[B21， B22]]

其中，A11、A12、A21、A22 和 B11、B12、B21、B22 分别是子矩阵。

根据这样的划分，矩阵相乘可以表示为以下形式：

C = [[C11， C12]，

[C21， C22]]

其中，

C11 = A11 × B11 + A12 × B21

C12 = A11 × B12 + A12 × B22

C21 = A21 × B11 + A22 × B21

C22 = A21 × B12 + A22 × B22

通过这种方式，我们可以使用递归地方式计算出子矩阵的乘积，并将这些子矩阵的乘积组合起来得到最终的乘积矩阵。

脱式算法的优点在于它能够将矩阵相乘的复杂度从传统的 O(n^3) 降低到 O(n^log2(7))，这是因为脱式算法能够减少相乘操作的次数。然而，脱式算法的缺点在于它需要额外的存储空间来存储子矩阵以及它的递归调用可能会增加计算开销。

为了更好地理解脱式算法的原理，一种常见的方法是通过一个具体的例子进行说明。想象两个 2×2 的矩阵相乘，其具体的计算过程如下：

A = [[a， b]，

[c， d]]

B = [[e， f]，

[g， h]]

按照脱式算法的步骤，我们将 A 和 B 分别划分为四个子矩阵：

A11 = a， A12 = b， A21 = c， A22 = d

B11 = e， B12 = f， B21 = g， B22 = h

然后，根据脱式算法的公式，我们可以计算 C11、C12、C21 和 C22：

C11 = a × e + b × g

C12 = a × f + b × h

C21 = c × e + d × g

C22 = c × f + d × h

最后，我们将这些子矩阵组合起来得到最终的乘积矩阵 C：

C = [[C11， C12]，

[C21， C22]]

通过这个例子，我们可以看到脱式算法是如何通过递归地处理子矩阵来计算矩阵的乘积。对于较大的矩阵相乘运算，使用脱式算法可以减少相乘操作的次数从而提高计算效率。